Tugasiswa.com - Pada buku Mathematical Method for Physical Science 3rd Edition karya Mary L. Boas, Chapter 12, Section 10, Halaman 583, telah dijelaskan mengenai fungsi Legendre terasosiasi dan penurunan rumus yang terkait. Salah satu persamaan yang diuraikan adalah $$(1 - x^2)y'' - 2xy' + \left[ l(l+1) - \frac{m^2}{1 - x^2} \right]y = 0$$Persamaan diatas (yang didalam buku ditulis sebagai persamaan 10.1) merupakan bentuk diferensial yang muncul dalam konteks geometri bola dan digunakan untuk menggambarkan hubungan antara fungsi yang dicari \(y\) dengan variabel \(x\), di mana \(x\) sering kali dihubungkan dengan \(\cos \theta\). Penurunan rumus ini menjadi penting untuk memahami sifat-sifat fungsi Legendre terasosiasi, yang berpotensi diterapkan dalam berbagai masalah fisika dan matematis.
SOAL
The equation for the associated Legendre functions (and for Legendre functions when \(m = 0\)) usually arises in the form (see, for example, Chapter 13, Section 7) $$ \frac{1}{\sin\theta} \frac{d}{d\theta} \left( \sin\theta \frac{dy}{d\theta} \right) + \left[ l(l+1) - \frac{m^2}{\sin^2\theta} \right] y = 0 $$Make the change of variable \(x = cos θ\), and obtain (10.1).
Soal nomor 2 pada Problem, Section 10 meminta kita untuk melakukan perubahan variabel dengan mengganti \(x\) menjadi \(cos\theta\) pada persamaan 10.1 yang terdapat dalam pembahasan. Tujuannya adalah mengubah persamaan tersebut ke dalam bentuk yang lebih sesuai dengan geometri bola, seperti yang sudah tercantum dalam soal sebagai jawaban akhir. Karena jawaban akhir sudah diberikan, tugas kita hanya membuktikan bahwa dengan mengganti variabel dan melakukan penurunan rumus, kita bisa sampai pada bentuk persamaan yang sama seperti yang tertera di soal.
KUNCI JAWABAN
Pengerjaan dimulai dengan persamaan awal (Persamaan 10.1):
$$(1 - x^2)y'' - 2xy' + \left[ l(l+1) - \frac{m^2}{1 - x^2} \right]y = 0$$
Dengan mengganti \(x = \cos\theta\), persamaan berubah menjadi:$$ (1 - \cos^2\theta)y'' - 2\cos\theta y' + \left[ l(l+1) - \frac{m^2}{1 - \cos^2\theta} \right]y = 0 $$
Dengan mengingat Identitas Trigonometri \(1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta\), persamaan dapat disederhanakan menjadi:
$$ \sin^2\theta y'' - 2\cos\theta y' + \left[ l(l+1) - \frac{m^2}{\sin^2\theta} \right]y = 0 $$
Sekarang kita akan mengganti notasi turunan \(y'\) dan \(y''\).
- Mengganti Notasi Turunan Pertama \(y'\): $$ y' = \frac{dy}{dx} $$
- Mengganti Notasi Turunan Kedua \(y''\): $$ y'' = \frac{d^2y}{dx^2} $$
Sehingga diperoleh : $$\boxed{ \sin^2\theta \frac{d^2y}{dx^2} - 2\cos\theta \frac{dy}{dx} + \left[ l(l+1) - \frac{m^2}{\sin^2\theta} \right]y = 0}$$
Kita simpan terlebih dahulu persamaan ini untuk digunakan nanti, sekarang kita perlu mengubah bentuk turunan \(\frac{dy}{dx}\) menjadi \(\frac{dy}{d\theta}\) dan bentuk turunan \(\frac{d^2y}{dx^2}\) menjadi \(\frac{d^2y}{d\theta^2}\). Penting untuk diketahui bahwa kita tidak dapat langsung mengganti \(
x \) dengan \(\theta\) dalam perhitungan turunan.
Sebagai gantinya, kita perlu menggunakan aturan rantai:
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{d\theta} \cdot \frac{d\theta}{dx}$$
Kita perlu menemukan \(\frac{dx}{d\theta}\) untuk dapat mengerjakan aturan rantai di atas:
- Ingat kembali bahwa \(x = \cos \theta\).
- Untuk menemukan \(\frac{dx}{d\theta}\) kita menghitung turunan dari \(x\) terhadap \(\theta\): $$ \frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(\cos \theta) = -\sin \theta. $$
- Untuk mendapatkan \(\frac{d\theta}{dx}\) kita perlu membalik persamaan: $$ \frac{d\theta}{dx} = -\frac{1}{\sin \theta}. $$
$$ \boxed{\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin \theta} \frac{dy}{d\theta}}
$$
Selanjutnya, kita bisa menggunakan persamaan diatas untuk mendapatkan \( \frac{d^2y}{dx^2} \):
$$
\begin{aligned}
\frac{d^2y}{dx^2} & = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) \\
& = \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{\sin \theta} \frac{dy}{d\theta}\right)
\end{aligned}
$$
Dengan menggunakan aturan rantai lagi, kita dapat menuliskannya sebagai:
$$
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{d\theta}\cdot \frac{d\theta}{dx} \left(-\frac{1}{\sin \theta} \frac{dy}{d\theta}\right) $$
Ingat bahwa kita telah menemukan \( \frac{d\theta}{dx} \) di awal sebagai \( -\frac{1}{\sin \theta} \)
Maka, kita dapat menuliskan:
$$
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{d\theta} \left(-\frac{1}{\sin \theta}\right) \left(-\frac{1}{\sin \theta} \frac{dy}{d\theta}\right)
$$
Karena ada dua tanda negatif, maka dapat kita rapikan agar menjadi positif seperti berikut:
$$
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{\sin \theta} \frac{d}{d\theta} \left(\frac{1}{\sin \theta} \frac{dy}{d\theta}\right)
$$
Sekarang, fokus pada turunan
$$
\frac{d}{d\theta} \left(\frac{1}{\sin \theta} \frac{dy}{d\theta}\right)
$$
Gunakan aturan produk (product rule):
Aturan produk (product rule) digunakan saat kita ingin menghitung turunan dari hasil kali dua fungsi. Jika kita memiliki dua fungsi \( u(\theta) \) dan \( v(\theta) \), maka turunan dari produk keduanya dapat dituliskan sebagai:
$$
\frac{d}{d\theta}(u \cdot v) = \frac{du}{d\theta} \cdot v + u \cdot \frac{dv}{d\theta}
$$
Keterangan:
- \( \frac{d}{d\theta}(u \cdot v) \) adalah turunan dari produk \( u \) dan \( v \) terhadap \( \theta \)
- \( \frac{du}{d\theta} \) adalah turunan dari fungsi \( u \) terhadap \( \theta \)
- \( \frac{dv}{d\theta} \) adalah turunan dari fungsi \( v \) terhadap \( \theta \)
Di sini kita misalkan \( u = \frac{1}{\sin \theta} \) dan \( v = \frac{dy}{d\theta} \):
- Untuk menghitung \( \frac{du}{d\theta} \): $$ \frac{du}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}\left(\frac{1}{\sin \theta}\right) = -\frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta} $$
- Sedangkan untuk \( \frac{dv}{d\theta} \): $$ \frac{dv}{d\theta} =\frac{d}{d\theta}\left(\frac{dy}{d\theta}\right)= \frac{d^2y}{d\theta^2} $$
$$
\frac{d}{d\theta} \left(\frac{1}{\sin \theta} \cdot \frac{dy}{d\theta}\right) = -\frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta} \cdot \frac{dy}{d\theta} + \left(\frac{1}{\sin \theta}\right) \cdot \frac{d^2y}{d\theta^2}
$$
Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan ekspresi ini dengan mengeluarkan \( \frac{1}{\sin \theta} \):
$$
\frac{d}{d\theta} \left(\frac{1}{\sin \theta} \cdot \frac{dy}{d\theta}\right) = \frac{1}{\sin \theta}\left(-\frac{\cos \theta}{\sin \theta} \cdot \frac{dy}{d\theta} + \frac{d^2y}{d\theta^2}\right)
$$
Sekarang substitusikan:
$$
\begin{aligned}
\frac{d^2y}{dx^2} & = \frac{1}{\sin \theta} \frac{d}{d\theta} \left(\frac{1}{\sin \theta} \frac{dy}{d\theta}\right) \\
& = \frac{1}{\sin \theta} \left[\frac{1}{\sin \theta}\left(-\frac{\cos \theta}{\sin \theta} \cdot \frac{dy}{d\theta} + \frac{d^2y}{d\theta^2}\right)\right]
\end{aligned}
$$
$$\boxed{\frac{d^2y}{dx^2}= \frac{1}{\sin^2 \theta} \left(-\frac{\cos \theta}{\sin \theta} \cdot \frac{dy}{d\theta} + \frac{d^2y}{d\theta^2}\right)}$$
Kita telah menemukan bentuk turunan \(\frac{dy}{dx}\) dan \(\frac{d^2y}{dx^2}\)dalam bentuk \(\theta\) sehingga dapat di substitusikan pada persamaan awal
$$
\sin^2\theta \frac{d^2y}{dx^2} - 2\cos\theta \frac{dy}{dx} + \left[ l(l+1) - \frac{m^2}{\sin^2\theta} \right]y = 0
$$
$$
\sin^2\theta \left[\frac{1}{\sin^2 \theta} \left(-\frac{\cos \theta}{\sin \theta} \cdot \frac{dy}{d\theta} + \frac{d^2y}{d\theta^2}\right)\right] - 2 \cos\theta \left[-\frac{1}{\sin \theta} \frac{dy}{d\theta}\right] + \left[ l(l+1) - \frac{m^2}{\sin^2\theta} \right]y = 0
$$
Setelah substitusi dilakukan, persamaan dapat disederhanakan menjadi:
$$
-\frac{\cos \theta}{\sin \theta} \cdot \frac{dy}{d\theta} + \frac{d^2y}{d\theta^2} + 2\frac{\cos\theta}{\sin \theta} \frac{dy}{d\theta} + \left[ l(l+1) - \frac{m^2}{\sin^2\theta} \right]y = 0
$$
Pada langkah ini, kita menyusun ulang persamaan untuk mengelompokkan suku-suku yang sama:
$$
\frac{d^2y}{d\theta^2} + 2\frac{\cos\theta}{\sin \theta} \frac{dy}{d\theta} - \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \cdot \frac{dy}{d\theta} + \left[ l(l+1) - \frac{m^2}{\sin^2\theta} \right]y = 0
$$
$$ \boxed{\frac{d^2y}{d\theta^2} + \frac{\cos\theta}{\sin \theta} \frac{dy}{d\theta} + \left[ l(l+1) - \frac{m^2}{\sin^2\theta} \right]y = 0} $$
Persamaan di atas merupakan hasil dari penurunan kita. Meskipun terlihat agak berbeda dari hasil yang tertera pada soal, kita hanya perlu melakukan sedikit perubahan bentuk.
Pertama, kita bisa menyusun kembali persamaan menjadi:
$$
\frac{1}{\sin \theta}\left[\sin \theta \frac{d^2y}{d\theta^2} + \cos\theta \frac{dy}{d\theta}\right] + \left[ l(l+1) - \frac{m^2}{\sin^2\theta} \right]y = 0.
$$
Dari bentuk ini, kita sudah sangat dekat dengan persamaan yang diinginkan. Selanjutnya, kita perlu menerapkan product rule secara terbalik untuk menyederhanakan bagian dalam tanda kurung.
Di sini dapat kita misalkan variabel berikut:
$$
u = \sin \theta \quad \text{dan} \quad v = \frac{dy}{d\theta}
$$
dan turunannya:
$$
\frac{du}{d\theta} = \cos \theta \quad \text{dan} \quad \frac{dv}{d\theta} = \frac{d^2y}{d\theta^2}.
$$
Dengan definisi ini, kita dapat menuliskan persamaan sebagai berikut:
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{d\theta}\left(u \cdot v \right) & = u \cdot \frac{dv}{d\theta} + \frac{du}{d\theta} \cdot v \\
\frac{d}{d\theta}\left(\sin \theta \frac{dy}{d\theta}\right) & = \sin \theta \frac{d^2y}{d\theta^2} + \cos\theta \frac{dy}{d\theta} \end{aligned}
$$ Karena kedua persamaan tersebut setara, kita dapat menyubstitusikan untuk mendapatkan bentuk yang lebih sederhana:
$$ \boxed{\frac{1}{\sin \theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin \theta \frac{dy}{d\theta}\right) + \left[ l(l+1) - \frac{m^2}{\sin^2\theta} \right]y = 0} $$
Dengan langkah-langkah ini, kita berhasil menyederhanakan persamaan dan mencapai bentuk yang sesuai dengan soal. Gimana menurut kalian? Ada yang masih bikin bingung atau mungkin ada tips yang kalian mau bagi? Jangan ragu untuk tinggalkan komentar di bawah.
