Rumus Turunan Polinomial dan Cara Menggunakannya

Tugasiswa.com - Setiap fungsi dalam matematika memiliki karakteristik unik yang menggambarkan perilaku dan perubahan nilainya. Salah satu alat penting untuk menganalisis perubahan ini adalah konsep turunan. Turunan memberi kita informasi tentang seberapa cepat suatu fungsi berubah pada titik tertentu. Dalam konteks ini, kita akan fokus pada turunan polinomial, khususnya bentuk \(x^n\), dan bagaimana cara menghitungnya dengan rumus yang sederhana dan sistematis. Persamaan tersebut adalah sebagai berikut: $$ \frac{d^k}{dx^k}(x^n) = \begin{cases} 0 & \text{jika } k > n \\ \frac{n!}{(n-k)!} x^{n-k} & \text{jika } k \leq n \end{cases} $$ dengan

• \( \frac{d^k}{dx^k} \) adalah operator turunan ke-k. 
• \( n! \) (n faktorial) adalah hasil kali semua bilangan bulat positif hingga \( n \). 
• \( x^n \) adalah fungsi yang ingin diturunkan.

Syarat:

• Nilai \( k \) harus merupakan bilangan bulat non-negatif \( (k = 0, 1, 2, \dots) \). 
• Nilai \( n \) harus merupakan bilangan bulat non-negatif \( (n = 0, 1, 2, \dots) \). 

1. Kondisi ketika \(k > n\)

Dalam kasus ini, kita mencari turunan ke-k dari \(x^n\) ketika \(k\) lebih besar dari \(n\). Artinya, kita ingin mengambil turunan lebih banyak daripada derajat fungsi \(x^n\) itu sendiri. Ketika ini terjadi, hasilnya adalah 0. Ini berarti setelah kita mengambil turunan sebanyak derajat fungsi, tidak ada lagi perubahan yang dapat dihitung, sehingga hasilnya menjadi 0.

Contoh: 

$$\begin{aligned} \frac{d^6}{dx^6}(x^5) = 0 \quad (\text{karena } 6 > 5) \end{aligned}$$

Jika kita ingin menghitung turunan ke-6 dari \(x^5\) (\(k=6\) dan \(n=5\)), maka hasilnya adalah 0 karena kita sudah melewati derajat fungsi \(x^5\).

2. Kondisi Ketika \(k \leq n\)

Dalam kasus ini, kita mencari turunan ke-k dari \(x^n\) ketika \(k\) kurang dari atau sama dengan \(n\). Dalam hal ini, kita menggunakan rumus: $$ \frac{d^k}{dx^k}(x^n) = \frac{n!}{(n-k)!} x^{n-k} $$ Di sini, \(n!\) (dibaca "n faktorial") adalah hasil perkalian semua bilangan bulat positif dari 1 hingga \(n\). Contohnya, \(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\). Notasi \((n-k)!\) adalah faktorial dari \(n-k\), yang dihitung dengan cara yang sama. Hasil dari rumus ini memberikan kita nilai turunan ke-k dari fungsi \(x^n\).

Contoh pada \(x^5\):

Jika kita ingin menghitung turunan pertama hingga ke-lima (\(k=1\) hingga \(k=5\)) dari \(x^5\) (\(n=5\)), kita akan menggunakan rumus tersebut: 

• Turunan Pertama (\(k=1\)): $$ \begin{aligned} \frac{d^1}{dx^1}(x^5) &= \frac{5!}{(5-1)!} x^{5-1} \\ &= \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1} x^4 \\ &= 5x^4 \end{aligned} $$ 
• Turunan Kedua (\(k=2\)): $$ \begin{aligned} \frac{d^2}{dx^2}(x^5) &= \frac{5!}{(5-2)!} x^{5-2} \\ &= \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} x^3 \\ &= 20x^3 \end{aligned} $$ 
• Turunan Ketiga (\(k=3\)): $$ \begin{aligned} \frac{d^3}{dx^3}(x^5) &= \frac{5!}{(5-3)!} x^{5-3} \\ &= \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} x^2 \\ &= 60x^2 \end{aligned} $$ 
• Turunan Keempat (\(k=4\)): $$ \begin{aligned} \frac{d^4}{dx^4}(x^5) &= \frac{5!}{(5-4)!} x^{5-4} \\ &= \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{1} x^1 \\ &= 120x \end{aligned} $$ 
• Turunan Kelima (\(k=5\)): $$ \begin{aligned} \frac{d^5}{dx^5}(x^5) &= \frac{5!}{(5-5)!} x^{5-5} \\ &= 5! \\ &= 120 \end{aligned} $$

Contoh pada \(x^6\):

Jika kita ingin menghitung turunan pertama hingga ke-enam (\(k=1\) hingga \(k=6\)) dari \(x^6\) (\(n=6\)), kita akan menggunakan rumus tersebut: 

• Turunan Pertama (\(k=1\)): $$ \begin{aligned} \frac{d^1}{dx^1}(x^6) &= \frac{6!}{(6-1)!} x^{6-1} \\ &= \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} x^5 \\ &= 6x^5 \end{aligned} $$ 
• Turunan Kedua (\(k=2\)): $$ \begin{aligned} \frac{d^2}{dx^2}(x^6) &= \frac{6!}{(6-2)!} x^{6-2} \\ &= \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1} x^4 \\ &= 30x^4 \end{aligned} $$ 
• Turunan Ketiga (\(k=3\)): $$ \begin{aligned} \frac{d^3}{dx^3}(x^6) &= \frac{6!}{(6-3)!} x^{6-3} \\ &= \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} x^3 \\ &= 120x^3 \end{aligned} $$ 
• Turunan Keempat (\(k=4\)): $$ \begin{aligned} \frac{d^4}{dx^4}(x^6) &= \frac{6!}{(6-4)!} x^{6-4} \\ &= \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} x^2 \\ &= 360x^2 \end{aligned} $$ 
• Turunan Kelima (\(k=5\)): $$ \begin{aligned} \frac{d^5}{dx^5}(x^6) &= \frac{6!}{(6-5)!} x^{6-5} \\ &= \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{1} x^1 \\ &= 720x \end{aligned} $$ 
• Turunan Keenam (\(k=6\)): $$ \begin{aligned} \frac{d^6}{dx^6}(x^6) &= \frac{6!}{(6-6)!} x^{6-6} \\ &= 6! \\ &= 720 \end{aligned} $$

Contoh pada \(x^7\):

Jika kita ingin menghitung turunan pertama hingga ke-tujuh (\(k=1\) hingga \(k=7\)) dari \(x^7\) (\(n=7\)), kita akan menggunakan rumus tersebut: 

• Turunan Pertama (\(k=1\)): $$ \begin{aligned} \frac{d^1}{dx^1}(x^7) &= \frac{7!}{(7-1)!} x^{7-1} \\ &= \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} x^6 \\ &= 7x^6 \end{aligned} $$ 
• Turunan Kedua (\(k=2\)): $$ \begin{aligned} \frac{d^2}{dx^2}(x^7) &= \frac{7!}{(7-2)!} x^{7-2} \\ &= \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} x^5 \\ &= 42x^5 \end{aligned} $$ 
• Turunan Ketiga (\(k=3\)): $$ \begin{aligned} \frac{d^3}{dx^3}(x^7) &= \frac{7!}{(7-3)!} x^{7-3} \\ &= \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1} x^4 \\ &= 210x^4 \end{aligned} $$ 
• Turunan Keempat (\(k=4\)): $$ \begin{aligned} \frac{d^4}{dx^4}(x^7) &= \frac{7!}{(7-4)!} x^{7-4} \\ &= \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} x^3 \\ &= 840x^3 \end{aligned} $$ 
• Turunan Kelima (\(k=5\)): $$ \begin{aligned} \frac{d^5}{dx^5}(x^7) &= \frac{7!}{(7-5)!} x^{7-5} \\ &= \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} x^2 \\ &= 2520x^2 \end{aligned} $$ 
• Turunan Keenam (\(k=6\)): $$ \begin{aligned} \frac{d^6}{dx^6}(x^7) &= \frac{7!}{(7-6)!} x^{7-6} \\ &= \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{1} x^1 \\ &= 5040x \end{aligned} $$ 
• Turunan Ketujuh (\(k=7\)): $$ \begin{aligned} \frac{d^7}{dx^7}(x^7) &= \frac{7!}{(7-7)!} x^{7-7} \\ &= 7! \\ &= 5040 \end{aligned} $$

Hal yang perlu diperhatikan

Perlu diperhatikan bahwa rumus turunan ini memiliki kelebihan dan kelemahan yang perlu kalian ketahui. Terlepas dari kelebihannya, penggunaan rumus ini terbatas dan harus digunakan dengan pemahaman yang baik mengenai konteksnya.

Kelebihan Rumus

• Sederhana dan Efisien: Rumus ini memberikan cara yang langsung untuk menghitung turunan tanpa perlu melakukan diferensiasi berulang. Ini sangat menghemat waktu dan usaha, terutama saat menghitung turunan dari polinomial dengan derajat yang lebih tinggi.
• Memudahkan Analisis: Dengan rumus ini, kita bisa dengan mudah memahami bagaimana turunan dari fungsi polinomial berhubungan dengan derajatnya. Ini membantu dalam analisis matematis, seperti mempelajari perilaku fungsi dan grafiknya.

Kelemahan Rumus

• Terbatas pada Fungsi Polinomial \(x^n\): Sebagaimana telah disebutkan, rumus ini hanya berlaku untuk fungsi berbentuk polinomial. Jika kita ingin menganalisis fungsi lain, kita harus menggunakan metode diferensiasi yang berbeda.
• Kurang Fleksibel: Rumus ini tidak memberikan informasi yang cukup untuk fungsi yang lebih kompleks. Dalam situasi di mana fungsi memiliki bentuk yang lebih rumit, kita perlu menggunakan teknik lain, seperti aturan rantai atau diferensiasi implisit.

Kesimpulan

Dengan menggunakan rumus turunan polinomial yang telah kita bahas, kita bisa dengan mudah menghitung turunan dari fungsi \(x^n\) tanpa harus menurunkan secara satu per satu. Metode ini tidak hanya lebih efisien, tetapi juga memberikan hasil yang akurat dalam waktu yang lebih singkat. Bayangkan betapa merepotkannya jika kita harus menghitung setiap turunan secara manual, terutama untuk derajat turunan yang lebih tinggi! Dengan memahami dua kasus yang berbeda, kita dapat dengan percaya diri menerapkan rumus ini dalam berbagai situasi, baik dalam belajar kalkulus maupun dalam aplikasi nyata di bidang matematika dan fisika. Jadi, teruslah berlatih dan pelajari lebih jauh dengan konsep ini!