Tugasiswa.com - Dalam dunia matematika, kita sering kali berhadapan dengan berbagai jenis persamaan diferensial yang memiliki solusi khusus, seperti polinomial Legendre. Bagi kalian yang mempelajari fisika atau matematika lanjutan, terutama di bidang teori medan atau elektromagnetik, polinomial Legendre mungkin sudah tidak asing lagi. Polinomial ini sering muncul sebagai solusi untuk persamaan Laplace dalam koordinat bola, terutama ketika kita berbicara tentang gelombang atau potensial gravitasi.
Tetapi, tahukah kalian bahwa ada cara mudah untuk mendapatkan polinomial Legendre tanpa harus memecahkan persamaan diferensial yang rumit? Jawabannya ada pada Rumus Rodrigues. Rumus ini telah dibahas dalam buku Mathematical Methods in the Physical Sciences 3rd Edition Chapter 12 karya Mary L. Boas .Dengan rumus ini, kita dapat menghitung polinomial Legendre dengan langkah yang lebih sederhana dan lebih cepat!
Tetapi, tahukah kalian bahwa ada cara mudah untuk mendapatkan polinomial Legendre tanpa harus memecahkan persamaan diferensial yang rumit? Jawabannya ada pada Rumus Rodrigues. Rumus ini telah dibahas dalam buku Mathematical Methods in the Physical Sciences 3rd Edition Chapter 12 karya Mary L. Boas .Dengan rumus ini, kita dapat menghitung polinomial Legendre dengan langkah yang lebih sederhana dan lebih cepat!
MATERI
Rumus Rodrigues untuk menemukan Polinomial Legendre dinyatakan sebagai:
$$P_l(x) = \frac{1}{2^l l!} \frac{d^l}{dx^l} \left( x^2 - 1 \right)^l$$
- \(P_l(x)\): Polinomial Legendre dari derajat \(l\), yang merupakan solusi dari persamaan Legendre, tergantung pada variabel \(x\).
- \(l\): Derajat polinomial, yaitu bilangan bulat non-negatif \(l\) = 0, 1, 2, ...). Nilai \(l\) menentukan kompleksitas polinomial.
- \(x\): Variabel independen dalam polinomial Legendre dan sering muncul dalam konteks fungsi-fungsi yang melibatkan koordinat bola.
SOAL
Untuk memahami penggunaan rumus Rodrigues secara langsung, kita bisa merujuk pada soal nomor 3 di bagian Problems, Section 4 Chapter 12 dari Buku Mary L. Boas (halaman 569).
Find P0(x), P1(x), P2(x), P3(x), and P4(x) from Rodrigues’ formula (4.1). Check
your results by computer.
Soal tersebut meminta kita untuk menghitung polinomial Legendre P0(x), P1(x), P2(x), P3(x), dan P4(x) menggunakan rumus Rodrigues. Dengan mengerjakan soal ini, kita akan lebih mudah memahami bagaimana rumus tersebut digunakan untuk menghasilkan polinomial Legendre dari derajat tertentu.
JAWABAN
- Menemukan \(P_0\) menggunakan Rumus Rodrigues
$$
\begin{aligned}
P_0(x) & = \frac{1}{2^0 \cdot 0!} \frac{d^0}{dx^0} \left( x^2 - 1 \right)^0 \\ P_0(x) & = \frac{1}{1 \cdot 1} \cdot 1 \cdot 1 \\ P_0(x) & = 1
\end{aligned}
$$
- Menemukan \(P_1\) menggunakan Rumus Rodrigues
$$ \begin{aligned} P_1(x) & = \frac{1}{2^1 \cdot 1!} \frac{d^1}{dx^1} \left( x^2 - 1 \right)^1 \\
P_1(x) & = \frac{1}{2 \cdot 1} \frac{d}{dx} \left( x^2 - 1 \right) \\
P_1(x) & = \frac{1}{2} \cdot (2x) \\
P_1(x) & = x \end{aligned} $$
- Menemukan \(P_2\) menggunakan Rumus Rodrigues
$$ \begin{aligned} P_2(x) & = \frac{1}{2^2 \cdot 2!} \frac{d^2}{dx^2} \left( x^2 - 1 \right)^2 \\
P_2(x) & = \frac{1}{4 \cdot 2} \frac{d^2}{dx^2} \left( x^4 - 2x^2 + 1 \right) \\
P_2(x) & = \frac{1}{8} \cdot (12x^2 - 4) \\
P_2(x) & = \frac{1}{8} \cdot 4(3x^2 - 1) \\
P_2(x) & = \frac{1}{2}(3x^2 - 1) \end{aligned} $$
- Menemukan \(P_3\) menggunakan Rumus Rodrigues
$$ \begin{aligned} P_3(x) & = \frac{1}{2^3 \cdot 3!} \frac{d^3}{dx^3} \left( x^2 - 1 \right)^3 \\
P_3(x) & = \frac{1}{8 \cdot 6} \frac{d^3}{dx^3} \left( x^6 - 3x^4 + 3x^2 - 1 \right) \\
P_3(x) & = \frac{1}{48} \cdot (120x^3 - 72x) \\
P_3(x) & = \frac{1}{48} \cdot 24(5x^3 - 3x) \\
P_3(x) & = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x) \end{aligned} $$
- Menemukan \(P_4\) menggunakan Rumus Rodrigues
$$ \begin{aligned} P_4(x) & = \frac{1}{2^4 \cdot 4!} \frac{d^4}{dx^4} \left( x^2 - 1 \right)^4 \\
P_4(x) & = \frac{1}{16 \cdot 24} \frac{d^4}{dx^4} \left( x^8 - 4x^6 + 6x^4 - 4x^2 + 1 \right) \\
P_4(x) & = \frac{1}{384} \cdot (1680x^4 - 1440x^2 + 144) \\
P_4(x) & = \frac{1}{384} \cdot 48(35x^4 - 30x^2 + 3) \\
P_4(x) & = \frac{1}{8}(35x^4 - 30x^2 + 3) \end{aligned} $$
Tambahan:
Meskipun soal hanya meminta kalian mencari polinomial legendre hingga \(P_4\), Disini akan kami jabarkan penurunannya hingga \(P_8\).
- Menemukan \(P_5\) menggunakan Rumus Rodrigues
$$ \begin{aligned} P_5(x) & = \frac{1}{2^5 \cdot 5!} \frac{d^5}{dx^5} \left( x^2 - 1 \right)^5 \\
P_5(x) & = \frac{1}{32 \cdot 120} \frac{d^5}{dx^5} \left( x^{10} - 5x^8 + 10x^6 - 10x^4 + 5x^2 - 1 \right) \\
P_5(x) & = \frac{1}{3840} \cdot (30240x^5 - 33600x^3 + 7200x) \\
P_5(x) & = \frac{1}{3840} \cdot 480(63x^5 - 70x^3 + 15) \\
P_5(x) & = \frac{1}{8}(63x^5 - 70x^3 + 15) \end{aligned} $$
- Menemukan \(P_6\) menggunakan Rumus Rodrigues
$$ \begin{aligned} P_6(x) & = \frac{1}{2^6 \cdot 6!} \frac{d^6}{dx^6} \left( x^2 - 1 \right)^6 \\
P_6(x) & = \frac{1}{64 \cdot 720} \frac{d^6}{dx^6} \left( x^{12} - 6x^{10} + 15x^8 - 20x^6 + 15x^4 - 6x^2 + 1 \right) \\
P_6(x) & = \frac{1}{46080} \cdot (665280x^6 - 907200^4 + 302400x^2 - 14400) \\
P_6(x) & = \frac{1}{46080} \cdot 2880(231x^6 - 315x^4 + 105x^2 - 5) \\
P_6(x) & = \frac{1}{16}(231x^6 - 315x^4 + 105x^2 - 5) \end{aligned} $$
- Menemukan \(P_7\) menggunakan Rumus Rodrigues
$$ \begin{aligned} P_7(x) & = \frac{1}{2^7 \cdot 7!} \frac{d^7}{dx^7} \left( x^2 - 1 \right)^7 \\
P_7(x) & = \frac{1}{128 \cdot 5040} \frac{d^7}{dx^7} \left( x^{14} - 7x^{12} + 21x^{10} - 35x^8 + 35x^6 - 21x^4 + 7x^2 - 1 \right) \\
P_7(x) & = \frac{1}{645120} \cdot (17297280x^7 - 27941760x^5 + 12700800x^3 - 1411200x) \\
P_7(x) & = \frac{1}{645120} \cdot 40320(429x^7 - 693x^5 + 315x^3 - 35x) \\
P_7(x) & = \frac{1}{16}(429x^7 - 693x^5 + 315x^3 - 35x) \end{aligned} $$
- Menemukan \(P_8\) menggunakan Rumus Rodrigues
$$ \begin{aligned} P_8(x) & = \frac{1}{2^8 \cdot 8!} \frac{d^8}{dx^8} \left( x^2 - 1 \right)^8 \\
P_8(x) & = \frac{1}{256 \cdot 40320} \frac{d^8}{dx^8} \left( x^{16} - 8x^{14} + 28x^{12} - 56x^{10} + 70x^8 - 56x^6 + 28x^4 - 8x^2 + 1 \right) \\
P_8(x) & = \frac{1}{10321920} \cdot (130636800x^8 - 43545600x^6 + 6048000x^4) \\
P_8(x) & = \frac{1}{10321920} \cdot 80640(6435x^8 - 12012x^6 + 6930x^4 - 1260x^2 + 35) \\
P_8(x) & = \frac{1}{128}(6435x^8 - 12012x^6 + 6930x^4 - 1260x^2 + 35) \end{aligned} $$
KESIMPULAN
Dari perhitungan diatas diperoleh Polinomial Legendre sebagai berikut:
$$
\begin{aligned}
P_0(x) & = 1 \\
P_1(x) & = x \\
P_2(x) & = \frac{1}{2}(3x^2 - 1) \\
P_3(x) & = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x) \\
P_4(x) & = \frac{1}{8}(35x^4 - 30x^2 + 3) \\
P_5(x) & = \frac{1}{8}(63x^5 - 70x^3 + 15x) \\
P_6(x) & = \frac{1}{16}(231x^6 - 315x^4 + 105x^2 - 5) \\
P_7(x) & = \frac{1}{16}(429x^7 - 693x^5 + 315x^3 - 35x) \\
P_8(x) & = \frac{1}{128}(6435x^8 - 12012x^6 + 6930x^4 - 1260x^2 + 35)
\end{aligned}
$$
Dalam artikel ini, kita telah membahas pengerjaan mencari polinomial Legendre, mulai dari yang paling sederhana hingga yang lebih kompleks. Setiap polinomial memiliki keunikan dan kegunaan dalam berbagai bidang, seperti fisika dan teknik. Semoga penjelasan ini membantu kalian memahami konsep ini dengan lebih baik! Jika ada yang masih membingungkan atau kalian punya pertanyaan, jangan ragu untuk bertanya di kolom komentar. Kami di sini untuk membantu!
